Question

（2012•江西模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的一系列对应值如表：

x	…	- π 4	0	π 6	π 4	π 2	3 4 π	…
y	…	0	1	1 2	0	-1	0	…

（1）求f（x）的解析式；
（2）若在△ABC中，AC=2，BC=3，f(A)=-

1

2

（A为锐角），求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）观察表格可得出函数f（x）的周期为π，根据周期公式及ω大于0，可得出ω的值，然后再将x=-

π

4

时，y=0代入函数解析式中，并根据φ的范围，利用正弦函数的图象与性质得出φ的度数，将ω及φ的值代入，即可确定出函数f（x）的解析式；
（2）由第一问确定出的函数解析式，以及f（A）=-

1

2

，根据A为锐角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出sinA及cosA的值，由sinA，AC及C的值，利用正弦定理求出sinB的值，由BC大于AC，根据大边对大角可得出B小于A，得到B的范围，由sinB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，然后利用诱导公式得到sinC=sin（A+B），将sin（A+B）利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入求出sin（A+B）的值，即为sinC的值，最后由AC，BC及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）由题中表格给出的信息可知，
函数f（x）的周期为T=

3π

4

-（-

π

4

）=π，且ω＞0，
∴ω=

2π

π

=2，
由表格得：sin[2×（-

π

4

）+φ]=0，可得：φ=

π

2

+2kπ（k∈Z），
由0＜φ＜π，所以φ=

π

2

，
所以函数的解析式为f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x；…（6分）
（2）∵f（A）=cos2A=-

1

2

，且A为锐角，
∴2A=

2π

3

，即A=

π

3

，
在△ABC中，AC=2，BC=3，
由正弦定理得

BC

sinA

=

AC

sinB

，
∴sinB=

AC•sinA

BC

=

3

3

，
∵BC＞AC，∴B＜A=

π

3

，∴cosB=

6

3

，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

2

×

6

3

+

1

2

×

3

3

=

3 2 + 3

6

，
又AC=2，BC=3，
∴S△ABC=

1

2

AC•BC•sinC=

3 2 + 3

2

．…（12分）

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：三角函数的周期公式，正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．