Question

【题目】已知椭圆Γ： + =1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2﹣y2=a2的离心率之和为 ，B1、B2为椭圆Γ短轴的两个端点，P是椭圆Γ上一动点（不与B1、B2重合），直线B1P、B2P分别交直线l：y=4于M、N两点，△B1B2P的面积记为S1 ， △PMN的面积记为S2 ， 且S1的最大值为4 ．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若S2=λS1 ， 当λ取最小值时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：双曲线的离心率为 ，∴椭圆的离心率为 ，

∴ ，解得a=2 ，b=2，

∴椭圆方程为 ．

（2）

解：）设P（2 cosα，2sinα）（0≤α＜2π且α ，α≠ ），B1（0，2），B（0，﹣2），

则直线B1P的方程为y= x+2，直线B2P的方程为y= x﹣2，

∴M（ ，4），N（ ，4），

|MN|=| ﹣ |=| |，

∴S2= ×|MN|×（4﹣2sinα）= ，又S1= =4 |cosα|，

∴λ= = =（ ）2，

令f（α）= ，则f′（α）= ，

令f′（α）=0得α= 或α= ，

当0 时，f′（α）＜0，当 时，f′（α）＞0，当 时，f′（α）＞0，

当 时，f′（α）＜0，当 时，f′（α）＜0，

∴f（α）在[0， ]上单调递减，在（ ， ）上单调递增，在（ ， ]上单调递增，在（ ， ）上单调递减，在（ ，2π）上单调递减，

∴当 时，f（α）取得极小值f（ ）= = ，当α= 时，f（α）取得极大值f（ ）= =﹣ ，

∴当α= 或 时，|f（α）|取得最小值 ，

∴λ=f2（α）的最小值为 ．

∴当λ取得最小值时，P点坐标为（ ，1）或（﹣ ，1）．

【解析】（1）根据椭圆的离心率，S1的面积列方程组，解出a，b即可得出椭圆方程；（2）设P（2 cosα，2sinα），分别求出直线方程，得出M，N的坐标，用α表示出S1 ， S2 ， 从而得到λ关于α的函数，利用导数判断此函数的单调性，得出λ的最小值及其对应的α，从而得出P点坐标．