Question

数列{a_n}的前m项为a₁，a₂，…，a_m（m∈N*），若对任意正整数n，有a_n+m=a_nq（其中q为常数，q≠0且q≠1），则称数列{a_n}是以m为周期，以q为周期公比的似周期性等比数列．已知似周期性等比数列{b_n}的前5项为1，1，1，1，2，周期为5，周期公比为3，则数列{b_n}前5k+1项的和等于

4•3^k-3

．（k为正整数）

Answer 1

分析：根据已知条件可以理解并把握似周期性等比数列的定义，弄清周期和周期公比的含义，将所求的数列的和问题转化为学过的等比数列求和是解决本题的关键，注意找准他们的联系．

解答：解：把b_n的每5项求和的数列设为C_n，也就是说 C₁=B₁+B₂+…+B₅，C_k=B_5k-4+B_5k-3+…+B_5k，
因此，求b_n前5k项之和就是求C_n前k项之和．
由于b_n是周期为5的似周期性等比数列，所以

Bn+5

Bn

=3，
所以

Cn+1

Cn

=3．
由等比数列求和公式，可得为c₁+c₂+c₃+…+c_k⁼3×3^k-3．
这就是数列b_n前5k项之和，最后就是加上b_5k+1这一项，由于b_5k+1=b₁×3^k=3^k．
因此，数列b_n前5k+1项和就是3×3^k-3+3^k₌4•3^k-3．
故答案为：4•3^k-3．

点评：本小题主要考查数列与函数的综合、等比数列求和公式、新定义型问题的解决方法，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力和意识．