Question

如图，已知直线与抛物线和圆都相切，F是C₁的焦点．
（1）求m与a的值；
（2）设A是C₁上的一动点，以A为切点作抛物线C₁的切线l，直线l交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直线与圆相切，可得圆心到直线l₁：y=2x+m的距离等于半径，从而可求m的值；设l₁与抛物线的相切点为A（x，y），求得切点坐标，代入直线方程，即可求得a的值；
（2）设，由（1）知以A为切线l的方程为，从而可得切线l交y轴的B点坐标，利用四边形FAMB是以FA，FB为邻边的平行四边形，可得，由此可证结论．
解答：（1）解：由已知，圆的圆心（0，-1），
圆心到直线l₁：y=2x+m的距离，解得m=-6（m=4舍去），…（3分）
设l₁与抛物线的相切点为A（x，y），得2ax=2，∴，
代入直线方程得：，∴，
所以m=-6，…（6分）
（2）证明：由（1）知抛物线C₁方程为，焦点，
设，由（1）知以A为切线l的方程为，…（8分）
令x=0，得切线l交y轴的B点坐标为（0，），
所以=（x₁，-），=（0，--），…（10分）
∵四边形FAMB是以FA，FB为邻边的平行四边形，
∴=（x₁，-3）…（13分）
因为F是定点，所以点M在定直线上．     …（15分）
点评：本题考查直线与圆，直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是确定切线方程，属于中档题．