Question

【题目】我们称n（）元有序实数组（，，…，）为n维向量，为该向量的范数.已知n维向量，其中，，2，…，n.记范数为奇数的n维向量的个数为，这个向量的范数之和为.

（1）求和的值；

（2）当n为偶数时，求，（用n表示）.

Answer 1

【答案】（1），.（2），

【解析】

（1）利用枚举法将范数为奇数的二元有序实数对都写出来，再做和；（2）用组合数表示和，再由公式或将组合数进行化简，得出最终结果.

解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：，，，，

它们的范数依次为1，1，1，1，故，.

（2）当n为偶数时，在向量的n个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：1，3，…，进行讨论：的n个坐标中含1个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；

的n个坐标中含3个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；

的n个坐标中含个0，其余坐标为1或，

共有个，每个的范数为1；所以

，

.

因为，①

，②

得，，

所以.

解法1：因为，

所以.

.

解法2：得，.

又因为，所以

.