Question

在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，且过点(

3

，

1

2

)．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设椭圆E的左右顶点分别为A₁，A₂，上顶点为B，圆C与以线段OA₂为直径的圆关于直线A₁B对称，
①求圆C的标准方程；
②设点P是圆C上的动点，求△PA₁B的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，且过点(

3

，

1

2

)，建立方程组，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆方程；
（2）①由题意A₁（-2，0），A₂（2，0），B（0，1），从而可得以线段OA₂为直径的圆的圆心坐标为（1，0），半径为1
求出（1，0）关于直线A₁B的方程的对称点，即可求得圆C的标准方程；
②由于A₁B=

4+1

=

5

，所以△PA₁B的面积最大时，P到A₁B的距离最大，当且仅当P到A₁B的距离最大值为C到A₁B的距离加上半径，从而可得△PA₁B的面积的最大值．

解答：解：（1）由题意，∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，且过点(

3

，

1

2

)，
∴

c a = 3 2 3 a2 + 1 4 b2 =1 a2=b2+c2

，∴

a2=4 b2=1

∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1；
（2）①由题意A₁（-2，0），A₂（2，0），B（0，1）
∴以线段OA₂为直径的圆的圆心坐标为（1，0），半径为1
直线A₁B的方程为

x

-2

+y=1，即x-2y+2=0
设C（m，n），则

n m-1 × 1 2 =-1 m+1 2 -2× n 2 +2=0

，∴m=-2，n=

3

2

∴圆C的标准方程为（x+2）²+（y-

3

2

）²=1；
②∵A₁B=

4+1

=

5

，∴△PA₁B的面积最大时，P到A₁B的距离最大
当且仅当P到A₁B的距离最大值为C到A₁B的距离加上半径，即

|-2-2× 3 2 +2|

5

+1=

3

5

+1
∴△PA₁B的面积的最大值为

1

2

×

5

×(

3

5

+1)=

3+ 5

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆的方程，考查点的对称性，考查三角形面积的计算，确定△PA₁B的面积最大时，P到A₁B的距离最大是关键．