Question

已知ABCD—A₁B₁C₁D₁是正方体.

(1)求A₁C₁与B₁C所成角的大小；

(2)求A₁C与AD₁所成角的大小；

(3)若E、F分别为AB、AD的中点，求A₁C₁与EF以及AD₁与EF所成角的大小.

Answer 1

解析：(1)如下图甲中，连结AC、AB₁.由A₁C是正方体，知AA₁CC₁,故A₁ACC₁是平行四边形，所以AC∥A₁C₁.从而B₁C与AC所成的角就是A₁C₁与B₁C所成的角.

由AB₁=AC=B₁C,知∠B₁CA=60°，即A₁C₁与B₁C所成的角为60°

(2)如图乙中，延长BC到E，使CE=BC，连结D₁E、AE，由BCA₁D₁,知CEA₁D₁，故四边形A₁CED₁是平行四边形，所以D₁E∥A₁C.从而D₁E与AD₁所成的角就是A₁C与AD₁所成的角.

设正方体的棱长为a，则

AD₁=，A₁C=，.

由余弦定理，知

cos∠AD₁E=.

所以A₁C与AD₁所成的角为90°.

(3)如图丙中，连结AC、BD，由A₁ACC₁,知A₁ACC₁是平行四边形，故AC∥A₁C₁，所以AC与EF所成的角就是A₁C₁与EF所成的角.由EF是△ABD的中位线，知EF∥BD，知EF⊥AC,即所求角为90°.在图丁中，连结BD、D₁B₁.由DD₁BB₁,知B₁BDD₁是平行四边形，故D₁B₁∥DB，又由EF是△ABD的中位线，知EF∥BD，故EF∥B₁D₁，所以AD₁与B₁D₁所成的角就是AD₁与EF所成的角.连结AB₁，由AB₁=AD₁=D₁B₁，知AD₁与D₁B所成角为60°，即有AD₁与EF所成角为60°.