Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意的（为自然对数的底数），恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（I）当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间是；（II）

【解析】

（Ⅰ）求出，分两种情况讨论，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）对分四种情况讨论，分别利用导数求出函数最小值的表达式，令最小值不小于零，即可筛选出符合题意的的取值范围.

（Ⅰ）的定义域为.

.

（1）当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；

（2）当时，由解得，由解得.

∴的单调递增区间为和，单调递减区间是.

（Ⅱ）①当时，恒成立，在上单调递增，

∴恒成立，符合题意.

②当时，由（Ⅰ）知，在、上单调递增，在上单调递减.

（i）若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

∴对任意的实数，恒成立，只需，且.

而当时，

且成立.

∴符合题意.

（ii）若时，在上单调递减，在上单调递增.

∴对任意的实数，恒成立，只需即可，

此时成立，

∴符合题意.

（iii）若，在上单调递增.

∴对任意的实数，恒成立，只需，

即，

∴符合题意.

综上所述，实数的取值范围是.