Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞c＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，若以F₂为圆心，b-c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线．切点为T，且|PT|的最小值为

3

2

(a-c)，则椭圆的离心率e的取值范围是

[

3

5

，

2

2

)

．

Answer 1

分析：利用切线的性质和勾股定理可得|PT|=

|PF2|2-(b-c)2

，利用椭圆的性质可得|PF₂|的最小值为a-c，再利用题意可|PT|的最小值为

3

2

(a-c)，即可得出离心率e 满足的不等式，再利用b＞c，可得b²＞c²，即a²-c²＞c²，又得出e满足的不等式，联立解出即可．

解答：解：∵|PT|=

|PF2|2-(b-c)2

，而|PF₂|的最小值为a-c，
∴

(a-c)2-(b-c)2

≥

3

2

(a-c)，
∴（a-c）²≥4（b-c）²，∴a-c≥2（b-c），
∴a+c≥2b，∴（a+c）²≥4（a²-c²），
化为5c²+2ac-3a²≥0，即5e²+2e-3≥0  ①．
∵b＞c，∴b²＞c²，
∴a²-c²＞c²，∴a²＞2c²，∴e2＜

1

2

．②
由①②解得

3

5

≤e＜

2

2

．
故椭圆离心率的取值范围为[

3

5

，

2

2

)．
故答案为[

3

5

，

2

2

)．

点评：熟练掌握椭圆的性质、离心率的计算公式、圆的切线的性质、勾股定理、一元二次不等式的解法是解题的关键．