Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项
①求数列{a_n}的通项公式；
②设b_n=a_nlog₂a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：①根据条件，建立方程组即可求出数列{a_n}的通项公式；
②利用错位相减法求出数列的前n项和S_n

解答：解：①∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，
即 a1q+a1q3-2a1q2=4，
又a₂+a₃+a₄=28，
即a1q+a1q2+a1q3=28，
∴q=

1

2

（舍去）或q=2，
∴a₁=2，
∴a_n=2ⁿ．
②由①知a_n=2ⁿ．
∴b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ，
∴Sn=1?2+2?22+???+n?2n，
2Sn=22+2?23+???+(n-1)?2n+n?2n+1 
∴两式相减得，-Sn=2+22+23+???+2n-n?2n+1=(1-n)?2n+1-2，
即Sn=2+(n-1)?2n+1．

点评：本题主要考查数列的通项公式和前n项和的计算，要求熟练掌握错位相减法进行求和，考查学生的计算能力．