Question

f(x)定义域为D={x|log2(

4

|x|

-1)≥1}，又对于任意x₁、x₂∈D，有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）将D用区间表示；
（2）求证：f（1）=f（-1）．

Answer 1

分析：（1）由log2(

4

|x|

-1)≥1可得

4

|x|

-1≥2，解不等式可求D
（2）利用赋值，令x₁=x₂=1，可求f（1），令x₁=x₂=-1，可求f（-1），从而可证

解答：解：（1）∵log2(

4

|x|

-1)≥1
∴

4

|x|

-1≥2…（2分）
∴

4

|x|

≥3
∴|x|≤

4

3

∴x∈[-

4

3

，

4

3

]且x≠0
∴D=[-

4

3

，0)∪(0，

4

3

]…（6分）
证明：（2）令x₁=x₂=1，则f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0
令x₁=x₂=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1）
∴f（-1）=0
所以f（1）=f（-1）…（12分）

点评：本题主要考查了利用对数函数的单调性求解不等式，绝对值不等式的求解及利用赋值求解抽象函数的函数值，属于基础试题