Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），且AC、BC所在直线的斜率之积等于﹣2，记顶点C的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设直线y=2x+m（m∈R且m≠0）与曲线E相交于P、Q两点，点M（ ，1），求△MPQ面积的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设C（x，y），由题意，可得 =﹣2（x≠±1），

∴曲线E的方程为 =1（x≠±1）

（2）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立 ，消去y，得6x2+4mx+m2﹣2=0，

∵△=48﹣8m2＞0，∴m2＜6，

∵x≠±1，∴m≠±2，

又∵m≠0，∴0＜m2＜6，且m2≠4，

∵ ， ，

∴|PQ|= |x1﹣x2|=

=

= ．

点M（ ，1）到PQ的距离d= = ，

∵0＜m2＜6，m2≠4，

∴ =（ ）2= = m2m2（12﹣2m2）

≤ （ ）3= = ，

当且仅当m2=12﹣2m2时，取等号，又m2≠4，

∴ ∈（0， ）．

∴△MPQ面积的取值范围是（0， ）

【解析】（1）设C（x，y），由题意，可得 =﹣2（x≠±1），由此能求出曲线E的方程．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立 ，得6x2+4mx+m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、三角形面积公式，结合已知条件能求出△MPQ面积的取值范围．