Question

【题目】若以曲线上任意一点为切点作切线，曲线上总存在异于的点，以点为切点作切线，且，则称曲线具有“可平行性”，现有下列命题：

①函数的图象具有“可平行性”；

②定义在的奇函数的图象都具有“可平行性”；

③三次函数具有“可平行性”，且对应的两切点， 的横坐标满足；

④要使得分段函数的图象具有“可平行性”，当且仅当.

其中的真命题个数有（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】由“可平行性”的定义,可得曲线y=f(x)具有“可平行性”,则方程y′=a(a是导数值)至少有两个根。

①函数y=(x2)2+lnx,则y′=2(x2)+ = (x>0),方程,即2x2(4+a)x+1=0,当时有两个相等正根，不符合题意；

②定义在(∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,如y=x3, 则,方程,当时有两个相等实数根，不符合题意；

③三次函数f(x)=x3x2+ax+b,则f′(x)=3x22x+a,满足题意时， 的一元二次方程的实数根，即，命题③正确；

④函数y=ex1(x<0),y′=ex∈(0,1)，

函数y=x+1x,y′=11x2=x21x2=11x2,由11x2∈(0,1),得1x2∈(0,1)，∴x>1，则m=1.

故要使得分段函数的图象具有“可平行性”，

当时， ，且导函数单调递增，

当时， 的值域应该是，

结合幂函数的性质和函数的平移性质可得导函数在上单调递增，且， ，据此可得m=1.

真命题个数为2个.

本题选择B选项.