Question

【题目】若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点．设函数．

（1）若函数在上无极值点，求的取值范围；

（2）求证：对任意实数，在函数的图象上总存在两条切线相互平行；

（3）当时，若函数的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问；这样的平行切线共有几组？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）或 （2）详见解析（3）3组

【解析】

（1）求得导函数，求出的解，题意说明此解不在区间上，从而得关于的不等式组，解之可得所求范围；

（2）从特殊值出发，不妨设，此方程中，必有两个不等实根，再证明斜率为1的两条切线不可能重合即可；

（3）设出切点坐标，，由得，写出两切线方程，求出两切线间距离由，可化简为，此方程有三解（可用换元法说明），从而知结论为3组．

（1）由函数，得，由，得，或，

因函数在上无极值点，所以或，解得或.

（2）由（1）知，令，则，所以，即对任意实数，总有两个不同的实数根，所以不论为何值，函数在两点，处的切线平行

设这两条切线方程为分别为和，若两切线重合，则,即，即，而=，化简得，此时，与矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，对任意实数，函数的图象总存在两条切线相互平行

（3）当时，，由（2）知时，两切线平行.设,,不妨设，

过点的切线方程为

所以，两条平行线间的距离，化简得

，

令，则，即，即，显然为一解，有两个异于的正根，所以这样的有3解，而，所以有3解，所以满足此条件的平行切线共有3组