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    函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=1
    （1）求f（
    1
    2
    ）的值；
    （2）数列{an}满足：an=f（0）+f（
    1
    n
    )    +f(
    2
    n
    )    +L+f（
    n-1
    n
    ）+f（1），求an；
    （3）令bn=
    2
    2an-1
    ，Tn=b12+b22+L+bn2，Sn=8-
    4
    n
    ，试比较Tn与Sn的大小、
    （1）令x=
    1
    2
    ，
    则有f(
    1
    2
    )+f(1-
    1
    2
    )=f(
    1
    2
    )+f(
    1
    2
    )=1    ．∴f(
    1
    2
    )=
    1
    2
    ．
    （2）令x=
    1
    n
    ，得f(
    1
    n
    )+f(1-
    1
    n
    )=1    ．即f(
    1
    n
    )+f(
    n-1
    n
    )=1    ．
    因为an=f(0)+f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )++f(
    n-1
    n
    )+f(1)    ，
    所以an=f(1)+f(
    n-1
    n
    )+f(
    n-2
    n
    )++f(
    1
    n
    )+f(0)    ．
    两式相加得：2an=[f(0)+f(1)]+[f(
    1
    n
    )+f(
    n-1
    n
    )]++[f(1)+f(0)]=n+1    ，∴an=
    n+1
    2
    ，n∈N*    ．
    （3）bn=
    2
    2an-1
    =
    2
    n
    ，n=1时，Tn=Sn；n≥2时，∴Tn=b12+b22++bn2=4(1+
    1
    22
    +
    1
    32
    ++
    1
    n2
    )    ≤4[1+
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    ++
    1
    n(n-1)
    ]
    =4[1+(1-
    1
    2
    )+(
    1
    2
    -
    1
    3
    )++(
    1
    n-1
    -
    1
    n
    )]
    =4(2-
    1
    n
    )=8-
    4
    n
    =Sn
    ∴Tn≤Sn．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x≠0时，xf（x）＜0，f（1）=-2
    （1）求证：f（x）是奇函数；
    （2）试问：在-2≤x≤2时，f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．
    （3）解关于x的不等式
    1
    2
    f(bx)-f(x)＞
    1
    2
    f(b2x)-f(b)    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=x+
    a
    x
    +a，x∈[1，+∞），且a＜1
    （1）判断f（x）单调性并证明；
    （2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
    （3）若函数g（x）=xf（x）对任意x∈[2，5]时，g（x）+2x+
    3
    2
    ＞0恒成立，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知二次函数f（x）=ax2+bx+c
    （1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
    （2）若对任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2）（a＞0），试证明：
    1
    2
    [f（x1）+f（x2）]＞f（
    x1+x2
    2
    ）成立．
    （3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：
    ①对任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
    ②对任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤
    1
    2
    (x-1)2    ？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意x，y∈（0，+∞），都有f（x•y）=f（x）+f（y），且当x＞1时f（x）＜0．
    （Ⅰ）求f（1）的值；
    （Ⅱ）判断f（x）的单调性；
    （Ⅲ）若f（2）=-1，解不等式f（x-2）+f（x）＞-3．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x≠0时，xf（x）＜0，f（1）=-2
    （1）求证：f（x）是奇函数；
    （2）试问：在-n≤x≤n时（n∈N*），f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．
    （3）解关于x的不等式
    1
    2
    f(bx2)-f(x)≥
    1
    2
    f(b2x)-f(b)，(b＞0)    ．

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