Question

已知a，b是正实数，函数f（x）=-

1

3

x³+ax²+bx在x∈[-1，2]上单调递增，则a+b的取值范围为（　　）

• A．(0，

  5

  2

  ]
• B．[

  5

  2

  ，+∞)
• C．（0，1）
• D．（1，+∞）

Answer 1

分析：由题意可得f′（x）=-x² +2ax+b≥0在区间[1，2]上恒成立，结合二次函数的性质可得f′（-1）≥0，且 f′（2）≥0，化简可得a+b的取值范围．

解答：解：∵a，b是正实数，函数f（x）=-

1

3

x³+ax²+bx在x∈[-1，2]上单调递增，∴f′（x）=-x²+2ax+b，
且f′（x）=-x² +2ax+b≥0在区间[1，2]上恒成立．
由于二次函数f′（x）=-x² +2ax+b的图象是抛物线，开口向下，对称轴为 x=a，
故有f′（-1）≥0，且 f′（2）≥0，即

-1-2a+b≥0 -4+4a+b≥0

．
化简可得 2a+2b≥5，a+b≥

5

2

，故a+b的取值范围为[

5

2

，+∞)，
故选B．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及恒成立问题的转化，属于基础题．