Question

【题目】给出定义：若 m﹣ ＜x≤m+ （其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x﹣{x}的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域是R，值域是（﹣ ， ]
②函数y=f（x）的图象关于y轴对称；
③数y=f（x）的图象关于坐标原点对称；
④函数y=f（x）在（﹣ ， ]上是增函数；
则其中正确命题是（填序号）．

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：由题意知，{x}﹣ ＜x≤{x}+ ，
则得到f（x）=x﹣{x}∈（﹣ ， ]，则命题①为真命题；
由于k∈Z时，f（k）=k﹣{k}=k﹣k=0，但由于f（x）∈（﹣ ， ]，
故函数不是中心对称图形，故命题③为假命题；
由于{x}﹣ ＜x≤{x}+ ，则得到f（x）=x﹣{x}为分段函数，且在（﹣ ， ]为增函数，故命题④为真命题．
进而可得：函数图象不可能关于y轴对称，故命题②为假命题；
正确的命题为①④
所以答案是：①④
【考点精析】通过灵活运用命题的真假判断与应用，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系即可以解答此题．