Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BD₁交平面ACB₁于点E，
求证：（1）BD₁⊥平面ACB₁；
（2）BE=

1

2

ED₁．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积

BD1

•

AC

=0，

BD1

• 

AB1

=0，从而证明BD₁⊥平面ACB₁；
（2）设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，推出2

BM

=

B1D1

．设

OB

=b，

OM

=m，

OB1

=b₁，

OD1

=d₁，求得点E分线段B₁M及D₁B各成λ（λ=2）之比，点E是D₁B与平面ACB₁之交点，此交点E将D₁B分成2与1之比，即BE=

1

2

ED₁．

解答：证明：（1）先证明BD₁⊥AC．
∵

BD1

=

BC

+

CD

+

DD1

，

AC

=

AB

+

BC

，
∴

BD1

•

AC

=（

BC

+

CD

+

DD1

）•（

AB

+

BC

）
=

BC

•

BC

+

CD

•

AB

=

BC

•

BC

-

AB

•

AB

=|

BC

|²-|

AB

|²
=1-1=0．
∴BD₁⊥AC．同理可证BD₁⊥AB₁，
于是BD₁⊥平面ACB₁．
（2）设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，则

BM

=

1

2

BD

=

1

2

B1D1

，即2

BM

=

B1D1

．
对于空间任意一点O，设

OB

=b，

OM

=m，

OB1

=b₁，

OD1

=d₁，
则上述等式可改写成2（m-b）=d₁-b₁或b₁+2m=d₁+2b．记

b1+2m

1+2

=

d1+2b

1+2

=e．
此即表明，由e向量所对应的点E分线段B₁M及D₁B各成λ（λ=2）之比，
所以点E既在线段B₁M（B₁M?面ACB₁）上又在线段D₁B上，
所以点E是D₁B与平面ACB₁之交点，此交点E将D₁B分成2与1之比，
即D₁E：EB=2：1．∴BE=

1

2

ED₁．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，棱柱的结构特征，考查转化思想，逻辑思维能力，是中档题．