Question

如果正数数列{a_n}满足：对任意的正数M，都存在正整数n₀，使得an0＞M，则称数列{a_n}是一个无界正数列．
（Ⅰ）若a_n=3+2sin（n）（n=1，2，3，…），bn=

1 n n=1，3，5，… n+1 2 n=2，4，6，…

分别判断数列{a_n}、{b_n}是否为无界正数列，并说明理由；
（Ⅱ）若a_n=n+2，是否存在正整数k，使得对于一切n≥k，有

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜n-

1

2

成立；
（Ⅲ）若数列{a_n}是单调递增的无界正数列，求证：存在正整数m，使得

a1

a2

+

a2

a3

+…+

am

am+1

＜m-2009．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取M=5，显然a_n=3+2sin（n）≤5不符合无界正数列的定义；对任意的正数M，取n₀为大于2M的一个偶数，bn0=

n0+1

2

＞

2M+1

2

＞M符合无界正数列的定义．
（Ⅱ）

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜n-

1

2

变形为n-(

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

)=

a2-a1

a2

+

a3-a2

a3

++

an+1-an

an+1

从而求得；
（Ⅲ）观察要证的不等式的结构与（II）相似，故应用（II）变形后，再由{a_n}是单调递增的无界正数列证明．

解答：解：（Ⅰ）{a_n}不是无界正数列．理由如下：
取M=5，显然a_n=3+2sin（n）≤5，不存在正整数n₀满足an0＞5；{b_n}是无界正数列．理由如下：
对任意的正数M，取n₀为大于2M的一个偶数，有bn0=

n0+1

2

＞

2M+1

2

＞M，所以{b_n}是无界正数列．
（Ⅱ）存在满足题意的正整数k．理由如下：
当n≥3时，
因为n-(

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

)=

a2-a1

a2

+

a3-a2

a3

++

an+1-an

an+1

=

1

4

+

1

5

++

1

n+3

≥

1

4

+

1

5

+

1

6

＞

1

2

，
即取k=3，对于一切n≥k，有

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

＜n-

1

2

成立．
注：k为大于或等于3的整数即可．

（Ⅲ）证明：因为数列{a_n}是单调递增的正数列，
所以n-(

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

)=

a2-a1

a2

+

a3-a2

a3

++

an+1-an

an+1

＞

a2-a1

an+1

+

a3-a2

an+1

++

an+1-an

an+1

=

an+1-a1

an+1

=1-

a1

an+1

．
即

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

＜n-1+

a1

an+1

．
因为{a_n}是无界正数列，取M=2a₁，由定义知存在正整数n₁，使an1+1＞2a1．
所以

a1

a2

+

a2

a3

++

an1

an1+1

＜n1-

1

2

．
由定义可知{a_n}是无穷数列，考察数列an1+1，an1+2，an1+3，
显然这仍是一个单调递增的无界正数列，同上理由可知存在正整数n₂，使得

an1+1

an1+2

+

an1+2

an1+3

++

an2

an2+1

＜(n2-n1)-

1

2

．
重复上述操作，直到确定相应的正整数n₄₀₁₈．
则

a1

a2

+

a2

a3

++

an4018

an4018+1

＜(n1-

1

2

)+(n2-n1-

1

2

)++(n4018-n4017-

1

2

)=n₄₀₁₈-2009．
即存在正整数m=n₄₀₁₈，使得

a1

a2

+

a2

a3

++

am

am+1

＜m-2009成立．

点评：本题通过情境设置定义新的数列在研究中渗透着不等式的构造、变形、放缩，培养学生灵活运用知识的能力．