Question

如图，在海岸线一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了A、B两个报名点，满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米。公司拟按以下思路运作：先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A、B两点），然后乘同一艘游轮前往C岛。据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元。设∠，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元。

⑴写出S关于的函数表达式，并指出的取值范围；

⑵问中转点D距离A处多远时，S最小？

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）千米．

【解析】

试题分析：（1）首先发现运输成本与路程有关，根据题意总运输成本为，下面就是想办法把用表示出来，由于，因此在中，利用正弦定理就可以用表示出，而，因此表达式易求．（2）由（1）求出了为的函数，问题变为为何值时，函数取得最小值，可以用导数的知识加以解决，即求出，令，使的值一定函数的最值点，只是我们要考虑下是最大还是最小值而已，这个应该是很好解决的．

试题解析：（1）由题在中，，

由正弦定理得，得

，        3分

∴

        7分

（2），令，得，        10分

当时，，当时，，∴当时，取得最小值．    12分

此时，，

∴中转站距处千米时，运输成本最小．        14分

考点：（1）正弦定理；（2）函数的最小值．