Question

（2012•盐城二模）在数列{a_n}中，a₁=1，且对任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比数列，其公比为q_k．
（1）若q_k=2（k∈N^*），求a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1；
（2）若对任意的k∈N^*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，其公差为d_k，设bk=

1

qk-1

．
①求证：{b_k}成等差数列，并指出其公差；
②若d₁=2，试求数列{d_k}的前k项的和D_k．

Answer 1

分析：（1）由题设知

a2k+1

a2k-1

=4，由此能求出a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1的值．
（2）①由a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，其公差为d_k，知2a_2k+1=a_2k+a_2k+2，再由a2k=

a2k+1

qk

，能够证明{b_k}是等差数列，且公差为1．
②由d₁=2，得a₃=a₂+2，解得a₂=2，或a₂=-1．由此进行分类讨论，能够求出D_k．

解答：解：（1）∵数列{a_n}中，a₁=1，且对任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比数列，公比q_k=2（k∈N^*），
∴

a2k+1

a2k-1

=4，
∴a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1=

1-4k

1-4

=

1

3

(4k-1)．
（2）①∵a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，其公差为d_k，
∴2a_2k+1=a_2k+a_2k+2，
而a2k=

a2k+1

qk

，a_2k+2=a_2k+1•q_k+1，
∴

1

qk

+qk+1=2，则qk+1-1=

qk-1

qk

，
得

1

qk+1-1

=

qk

qk-1

，
∴

1

qk+1-1

-

1

qk-1

=1，即b_k+1-b_k=1，
∴{b_k}是等差数列，且公差为1．
②∵d₁=2，∴a₃=a₂+2，
则有a22=1×a3=a2+2，
解得a₂=2，或a₂=-1．
（i）当a₂=2时，q₁=2，∴b₁=1，
则b_k=1+（k-1）×1=k，
即

1

qk-1

=k，得qk=

k+1

k

，
∴

a2k+1

a2k-1

=

(k+1)2

k2

，
则a2k+1=

a2k+1

a2k-1

×

a2k-1

a2k-3

×…×

a3

a1

×a1
=

(k+1)2

k2

×

k2

(k-1)2

×…×

22

12

×1
=（k+1）²，
∴a2k=

a2k+1

qk

=

(k+1)2

k+1 k

=k(k+1)，
则d_k=a_2k+1-a_2k=k+1，
故Dk=

k(k+3)

2

．
（ii）当a₂=-1时，q_k=-1，
∴b1=

1

2

，则bk=-

1

2

+(k-1)×1
=k-

3

2

．
即

1

qk-1

=k-

3

2

，得qk=

k- 1 2

k- 3 2

，
∴a_2k+1=a2k+1=

a2k+1

a2k-1

×

a2k-1

a2k-3

×…×

a3

a1

×a1
=

(k- 1 2 )2

(k- 3 2 )2

×

(k- 3 2 )2

(k- 1 2 )2

×…×

( 1 2 )2

(- 1 2 )2

×1=（k-

1

2

）²．
则a2k=

a2k+1

qk

=（2k-1）（2k-3），
∴d_k=a_2k+1-a_2k=4k-2，
从而D_k=2k²，
综上所述，D_k=

k(k+3)

2

，或Dk=2k2．

点评：本题考查数列的前n项和的计算，等差数列的证明，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意计算能力的培养．