Question

过点（-1，-6）的直线l与抛物线y²=4x交于A，B两点，若P(

9

2

，0)，|AP|=|BP|，求l的斜率．

Answer 1

分析：先设A，B的坐标，从而可得AB中点C的坐标，然后设直线l的斜率进而可表示出直线方程，然后联立直线方程和抛物线方程消去x得关于y的一元二次方程，可得到两根之和，再由|AP|=|BP|可得到直线与直线PC互相垂直，进而两直线的斜率之积等于-1，可得到关于k的方程，最后可求得k的值．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为C（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）
由题意可知直线l的斜率一定存在，
不妨设为k，则直线l的方程为：y+6=k（x+1）
联立直线l与抛物线方程得到：y2-

4

k

y+4-

24

k

=0，
△＞0，k∈(3-

10

，3+

10

)
∴y1+y2=

4

k

由|AP|=|BP|，可得到AB⊥PC，
∴k×

y1+y2 2

x1+x2 2 - 9 2

=-1
整理可得7k²-12k-4=0
∴k=2或-

2

7

（舍去）．
直线的斜率为：2．

点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点题，要着重复习．