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    已知双曲线C1：2x2－y2＝2m2(m＞0)，抛物线C2的顶点在原点，焦点F与C1的左焦点重合．

    (1)求证C1与C2总有两个不同的交点；

    (2)是否存在过抛物线C2的焦点F的弦AB，使△AOB的面积有最大值或最小值？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由．

    答案：
    解析：

    　　(1)C1的方程为－＝1①，它的左焦点为F(－m，0)，C2的方程为y2＝－4mx②，把②代入①整理得x2＋2mx－m2＝0(m＞0)③，因为Δ＝16m2＞0，故方程③有两个不等的实根x1，x2，因为x1x2＝－m2＜0，不妨设x1＞0，x2＜0，则＝－4mx1＜0不成立，＝－4mx2＞0，故C1和C2总有两个不同的交点．

    　　(2)若AB⊥x轴，易得S△AOB＝AB·OF＝×4m·m＝6m2，若AB不垂直于x轴，设AB的方程为y＝tanθ(x＋m)(0＜θ＜π，且θ≠＝，代入C2得：y2＋4mycotθ－12m2＝0，因为|AB|＝，而|AB|＝＝，所以|y1－y2|＝|AB|sinθ＝·sinθ＝，所以S△AOB＝|y1－y2|·|OF|＝＞6m2，故S△AOB有最小值6m2，此时AB⊥x轴，AB方程为x＝m．


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    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出下列命题：
    ①已知椭圆
    x2
    16
    +
    y2
    8
    =1    的两个焦点为F1，F2，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F1MF2为直角三角形；
    ②已知直线l过抛物线y=2x2的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
    ③若过双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
    ④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
    其中正确命题的序号是
     
    ．（把你认为正确命题的序号都填上）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点P（x0，y0）是渐近线为2x±3y=0且经过定点（6，2
    		3
    ）的双曲线C1上的一动点，点Q是P关于双曲线C1实轴A1A2的对称点，设直线PA1与QA2的交点为M（x，y），
    （1）求双曲线C1的方程；
    （2）求动点M的轨迹C2的方程；
    （3）已知x轴上一定点N（1，0），过N点斜率不为0的直线L交C2于A、B两点，x轴上是否存在定点 K（x0，0）使得∠AKN=∠BKN？若存在，求出点K的坐标；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知双曲线an-1y2-anx2=an-1an的一个焦点为(0，
    		cn
    )(n≥2)    ，且c1=6，一条渐近线方程为y=
    		2
    x    ，其中{an}是以4为首项的正数数列，记Tn=a1c1+a2c2+…+ancn（n∈N*）．
    （1）求数列{cn}的通项公式；
    （2）数列{cn}的前n项和为Sn，求
    lim
    n→∞
    S
    2
    n
    Tn
    ；
    （3）若不等式
    1
    c1
    +
    2
    c2
    +…+
    n
    cn
    +
    n
    3•2n
    ＜
    1
    3
    +loga(2x+1)(a＞0，a≠1)    对一切自然数n（n∈N*）恒成立，求实数x的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    给出下列命题：
    ①已知椭圆
    x2
    16
    +
    y2
    8
    =1    的两个焦点为F1，F2，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F1MF2为直角三角形；
    ②已知直线l过抛物线y=2x2的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
    ③若过双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
    ④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
    其中正确命题的序号是______．（把你认为正确命题的序号都填上）

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年湖北省部分重点中学联考高二（上）期末数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知点P（x，y）是渐近线为2x±3y=0且经过定点（6，2）的双曲线C1上的一动点，点Q是P关于双曲线C1实轴A1A2的对称点，设直线PA1与QA2的交点为M（x，y），
    （1）求双曲线C1的方程；
    （2）求动点M的轨迹C2的方程；
    （3）已知x轴上一定点N（1，0），过N点斜率不为0的直线L交C2于A、B两点，x轴上是否存在定点 K（x，0）使得∠AKN=∠BKN？若存在，求出点K的坐标；若不存在，说明理由．

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