Question

（2012•门头沟区一模）已知边长为2的正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，且PA=2，E是PC上的一点．
（ I）求证：AB∥平面PCD；
（ II）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（ III）线段PE为多长时，PC⊥平面BDE？

Answer 1

分析：（I）利用直线与平面平行的判定定理直接证明AB∥平面PCD．
（ II）通过证明PA⊥BD，结合PA∩AC=A，推出BD⊥平面PAC，然后证明平面BDE⊥平面PAC．
（ III）由（ II）可知BD⊥PC，所以只需BE⊥PC可证PC⊥平面BDE，在Rt△PBC中，可求PE的长度即可．

解答：（本小题满分13分）
解：（ I）证明：正方形ABCD中，AB∥DC，又AB?平面PCD，DC?平面PCD
所以AB∥平面PCD…（3分）
（ II）证明：正方形ABCD中，AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，…（5分）
又PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，…（6分）
∵BD?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面PAC…（8分）
（ III）由（ II）可知BD⊥PC，所以只需BE⊥PC可证PC⊥平面BDE，
在Rt△PBC中，可求BC=2，
PB=2

2

，PC=2

3

，
PE=

PB2

PC

=

4 3

3

…（13分）

点评：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的证明，考查空间想象能力．