Question

若关于x的不等式（4+m）cosx+sin²x-4＞0在x∈(-

π

2

，

π

2

)时恒有解，则实数m的 取值范围是（　　）

• A．（0，+∞）
• B．[0，+∞）
• C．(2

  3

  -4，+∞)
• D．[2

  3

  -4，+∞)

Answer 1

分析：不等式即（4+m）cosx-cos²x-3＞0，由x∈(-

π

2

，

π

2

)，得0＜cosx≤1，令cosx=t，则m＞t+

3

t

-3 在（0，1]上恒有解，利用单调性求得当t=1时，
f（t）=t+

3

t

-3有最小值为0，故有 m＞0．

解答：解：关于x的不等式（4+m）cosx+sin²x-4＞0即 （4+m）cosx-cos²x-3＞0．∵x∈(-

π

2

，

π

2

)，∴0＜cosx≤1，故不等式即 m＞cosx+

3

cosx

-3．
令cosx=t，0＜t≤1，则m＞t+

3

t

-3．由于函数 f（t）=t+

3

t

-3在（0，1]上单调递减，故当t=1时，f（t）有最小值为0，
由题意可得 m＞f（t） 在（0，1]上恒有解，故 m＞0．
故选：A．

点评：本题主要考查求函数的最值的方法，余弦函数的定义域和值域，利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题．