Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO为四棱锥P-ABCD的高，且PO=

3

，E、F分别是BC、AP的中点．
（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）求三棱锥F-PCD的体积．

Answer 1

（1）证明：取PD的中点G，连接FG，CG，
∵FG为△PAD的中位线，
∴FG∥AD且，FG=

1

2

AD
在菱形ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
又∵E为BC的中点，∴CE∥AD，且CE=

1

2

AD
∴CE∥FG且，CE=FG
∴四边形EFCG为平行四边形，∴EF∥CG，
又∵EF?平面PCD，CG?平面PCD
∴EF∥平面PCD；
（2）取OA中点N，连接FN
∵F为PA的中点，故FN∥PO，
∵OP⊥底面ABCD，∴FN⊥底面ABCD，
在△PAO中，FN=

1

2

PO=

3

2

，
∵底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，
∴AC⊥BD，且DO=1，AC=2

3

，
由几何体得，V_F-PCD=V_A-PCD-V_A-FCD
=V_P-ACD-V_F-ACD
=

1

3

•S△ACD•PO-

1

3

•S△ACD•FN
=

1

3

•S△ACD(PO-FN)=

1

3

×

1

2

×2

3

×1×

3

2

=

1

2

．