Question

【题目】设x，y，z为非零实数，满足xy+yz+zx=1，证明：.

Answer 1

【答案】不等式的证明一般可以考虑运用作差法或者是利用分析法来证明。

【解析】

试题为使所证式有意义，三数中至多有一个为0；据对称性，不妨设，则；

、当时，条件式成为，，，而

，

只要证，，即，也即，此为显然；取等号当且仅当．

、再证，对所有满足的非负实数，皆有

．显然，三数中至多有一个为0，据对称性，

仍设，则，令，为锐角，以为内角，构作，则 ，于是，且由知，；于是，即是一个非钝角三角形．

下面采用调整法，对于任一个以为最大角的非钝角三角形，固定最大角，将调整为以为顶角的等腰，其中，且设，记，据知，

．今证明，．即

……①．

即要证……②

先证……③，即证，

即，此即，也即

，即，此为显然．

由于在中，，则；而在中，

，因此②式成为

……④，

只要证，……⑤，即证，注意③式以及

，只要证，即，也即…⑥

由于最大角满足：，而，则，所以

，故⑥成立，因此⑤得证，由③及⑤得④成立，从而①成立，即，因此本题得证．