Question

（2009•红桥区一模）已知M（4，0），N（1，0），若动点P满足

MN

•

MP

=6|

PN

|
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点N的直线l交轨迹C于A、B两点，若5•

NA

•

BN

=12，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）设P（x，y），可得向量

MN

、

MP

的坐标，根据

MN

•

MP

=6|

PN

|利用数量积公式和两点的距离公式建立关于x、y的方程，化简得

x2

4

+

y2

3

=1，即为动点P的轨迹C的方程；
（II）当直线l斜率不存在时，算出A（1，

3

2

）、B（1，-

3

2

），从而得到

NA

•

BN

=

9

4

，不符合题意；当l斜率存在时，设交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），将l方程y=k（x-1）与曲线C消去y得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和直线l方程化简得

NA

•

BN

=

9(1+k2)

3+4k2

=

12

5

，解出k=±

3

，从而可得直线l的方程为y=±

3

（x-1）．最后综合即可得到满足条件的直线l的方程．

解答：解（I）设P（x，y），得

MN

=(-3，0)，

MP

=(x-4，y)
∵

|PN|

=

(x-1)2+(y-0)2

=

(x-1)2+y2

∴由

MN

•

MP

=6|

PN

|得3（4-x）=6

(x-1)2+y2

两边平方，化简得

x2

4

+

y2

3

=1，
因此，动点P的轨迹C的方程为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）（1）当直线l的斜率不存在时，方程为x=1
由

x2 4 + y2 3 =1 x=1

，解得A（1，

3

2

），B（1，-

3

2

）
∴

NA

=(0，

3

2

)，

BN

=(0，

3

2

)，可得

NA

•

BN

=

9

4

，不符合题意
（2）当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

消去y，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

∵

NA

=(x1-1，y1)，

BN

=(1-x2，-y2)
∴

NA

•

BN

=(x1-1)(1-x2)-y1y2
=-[(x1-1)(x2-1)+k2(x1-1)(x2-1)]=-（1+k²）[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
=-（1+k²）（

4k2-12

3+4k2

-

8k2

3+4k2

+1）=

9(1+k2)

3+4k2

∵5

NA

•

BN

=12，得

NA

•

BN

=

12

5

∴

9(1+k2)

3+4k2

=

12

5

，解之得k=±

3

，可得直线l的方程为y=±

3

（x-1），
化简得

3

x-y-

3

=0或

3

x+y-

3

=0
综上所述，满足条件的直线l方程为

3

x-y-

3

=0或

3

x+y-

3

=0．

点评：本题给出动点P的轨迹，求轨迹方程并求满足条件的直线l方程．着重考查了圆锥曲线的方程、向量的数量积、直线与圆锥曲线的位置关系和动点轨迹的研究等知识，属于中档题．