Question

【题目】把半椭圆（x≥0）与圆弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）合成的曲线称作“曲圆”，其中F（c，0）为半椭圆的右焦点．如图，A1，A2，B1，B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点，已知∠B1FB2=，扇形FB1A1B2的面积为．

（1）求a，c的值；

（2）过点F且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P，Q两点，试将△A1PQ的周长L表示为θ的函数；

（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时，试探究△A1PQ的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围．

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Answer 1

【答案】（1）a=2，c=1；（2）见解析；（3） .

【解析】

（1）根据椭圆的性质有，根据扇形面积公式及面积列方程可求得的值.利用可求得的值（2）由（1）的结论求得椭圆的方程和圆的方程.对分成三类，利用椭圆的定义和解等腰三角形求得三角形的周长.（3）由（2）的分析可知，三角形面积取得最大值时，在半椭圆上.利用弦长公式求得的长，利用点到直线的距离公式求得到的距离，列出三角形面积的表达式，利用换元法求得面积的取值范围.

（1）根据椭圆的性质有，根据扇形面积公式得，由于，故.

（2）由（1）知，故半椭圆方程为，圆弧的方程为.且恰好是椭圆的左焦点.显然直线的斜率不能为，故设的方程为.①当时，分别在圆弧和半椭圆上，为腰为的当腰三角形，，故的周长

②当时，分别圆弧和半椭圆上，同理①可求得的周长.

③当时，都在半椭圆上，此时的周长.

（3）由（2）知，当都在半椭圆上时，的周长取得最大值.将直线的方程代入椭圆方程并化简得，所以，由弦长公式得，点到直线的距离，故三角形的面积，令，，，而在上递增，故，所以.