Question

设向量a＝(2，sinθ)，b＝(1，cosθ)，θ为锐角（1）若a·b=,求sinθ+cosθ的值；（2）若a//b,求sin(2θ+)的值．

Answer 1

(1）   （2）

试题分析：(1）由已知及向量数量积的坐标运算可求得的值，从而应用平方关系就可求得(sinθ＋cosθ)²的值，再注意到θ为锐角，知sinθ＋cosθ＞０，开方即得所求式子的值；（2）由向量平行的坐标条件：可得的值，法一：由（万能公式）得到的值，同理可得的值；再利用正弦和角公式将sin(2θ+)展开即可求得其值；法二：也可由的值，应用三角函数的定义求得的值，进而用倍角公式可求得和的值，下同法一．
试题解析：(1） 因为a·b＝2＋sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝．
所以 (sinθ＋cosθ)²＝1＋2 sinθcosθ＝．
又因为θ为锐角，所以sinθ＋cosθ＝．
（2） 解法一 因为a∥b，所以tanθ＝2．
所以 sin2θ＝2 sinθcosθ­＝＝＝，
cos2θ＝cos²θ－sin²θ­＝＝＝－．
所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ＝×＋×(－)＝．
解法二 因为a∥b，所以tanθ＝2．所以 sinθ＝，cosθ＝．
因此 sin2θ＝2 sinθcosθ＝， cos2θ＝cos²θ－sin²θ­＝－．
所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ＝×＋×(－)＝．