【题目】设
是函数
的一个极值点.
（1）求
与
的关系式（用表示）
（2）求
的单调区间；
(3)设
，若存在
，使得
成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
；
（2）① 当
时，单调递增区间为：
；单调递减区间为：
，
；
② 当
时，单调递增区间为：
；单调递减区间为：
，
；
（3）
.
【解析】
试题（1）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数
在区间
内使
的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（2）第二问关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最小值问题.（3）若可导函数
在指定的区间
上单调递增（减），求参数问题，可转化为
恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.
试题解析：（1）∵
∴
由题意得：
，即
，
∴
且
令
得
，
∵
是函数
的一个极值点.
∴
，即
故
与
的关系式
（2） ① 当时，
，由
得单调递增区间为：；
由
得单调递减区间为：，；
② 当时，
，由得单调递增区间为：；
由得单调递减区间为：，；
（3） 由（2）知：当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
在
上的值域为
易知
在上是增函数
在上的值域为
由于
，又因为要存在
，
使得
成立，所以必须且只须
， 解得：
所以：的取值范围为
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【题目】已知有限集
，如果
中元素
满足
，就称为“复活集”.
（1）判断集合
是否为“复活集”，并说明理由；
（2）若
，
，且
是“复活集”，求
的取值范围；
（3）若
，求证：“复活集”有且只有一个，且
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
，（ 
为参数），
为曲线
上的动点，动点
满足
（
且
），
点的轨迹为曲线
.
（1）求曲线
的方程，并说明
是什么曲线；
（2）在以坐标原点为极点，以
轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 
点的极坐标为
，射线
与
的异于极点的交点为
，已知
面积的最大值为
，求
的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫(假设任意1只昆虫等可能地飞出)．若有2只昆虫先后任意飞出(不考虑顺序)，则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是
.
(1)求盒子中蜜蜂有几只；
(2)若从盒子中先后任意飞出3只昆虫(不考虑顺序)，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知向量
，向量
，设函数
的图象关于直线
对称，其中常数
.
（1）若
，求
的值域；
（2）将函数的图象向左平移
个单位，再向下平移1个单位，得到函数
的图象，用五点法作出函数在区间
上的图象．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的离心率为
分别为椭圆的左、右焦点，点
在椭圆上，当
时， 
内切圆的半径为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)已知直线
与椭圆
相较于
两点，且
，当直线
的斜率之和为2时，问：点
到直线
的距离是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
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【题目】某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品 | 不喜欢甜品 | 合计 | |
南方学生 | 60 | 20 | 80 |
北方学生 | 10 | 10 | 20 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
根据表中数据，问是否有
的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：
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