Question

已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x-3y-6=0点B关于点M（2，0）的对称点为C，点T（-1，1）在AC边所在直线上且满足

AT

•

AB

=0．
（I）求AC边所在直线的方程；
（II）求△ABC的外接圆的方程；
（III）若点N的坐标为（-n，0），其中n为正整数．试讨论在△ABC的外接圆上是否存在点P，使得|PN|=|PT|成立？说明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中

AT

•

AB

=0可得AC⊥AB，结合T点坐标及AB的方程为x-3y-6=0点，我们易求出AC边所在直线的方程；
（II）结合（I）中结论，及B、C两点关于M点对称，可得△ABC的外接圆是以M为圆心，以BC为直径的圆，求出BC长即可得到圆的方程；
（III）若在△ABC的外接圆圆M上存在点P，使得|PN|=|PT|成立，则P为线段NT的垂直平分线L与圆M的公共点．所以当L与圆M相离时，不存在满足条件的点P；当L与圆M相交或相切时则存在满足条件的点P．由此设出N点坐标，代入点到直线距离公式进行验证，即可得到结论．

解答：解：（I）∵

AT

•

AB

=0∴AT⊥AB，又T在AC上∴AC⊥AB，△ABC为Rt△ABC，（1分）
又AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，，所以直线AC的斜率为-3．（2分）
又因为点T（-1，1）在直线AC上，
所以AC边所在直线的方程为y-1=-3（x+1）．即3x+y+2=0．（3分）
（II）AC与AB的交点为A，所以由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

解得点A的坐标为（0，-2），（5分）

∵点B关于M(2，0)的对称点为C， ∴M为Rt△ABC斜边上的中点，即为Rt△ABC外接圆的圆心

（6分）
又r=|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

．（7分）
从△ABC外接圆的方程为：（x-2）²+y²=8．（8分）
（III）若在△ABC的外接圆圆M上存在点P，使得|PN|=|PT|成立，则P为线段NT的垂直平分线L与圆M的公共点．所以当L与圆M相离时，不存在满足条件的点P；当L与圆M相交或相切时则存在满足条件的点P．
由N（-n，0），T（-1，1），知NT的斜率为

1

n-1

，线段NT的中点为(-

n+1

2

，

1

2

)
线段NT的垂直平分线L为y-

1

2

=-(n-1)(x+

n+1

2

)即2(1-n)x-2y+(2-n2)=0（10分）
圆M的圆心M到直线L的距离为
d=

|4(1-n)-0+2-n2|

4(1-n)2+(-2)2

=

|n2+4n-6|

2 n2-2n+2

（11分）
i）当n=1时，d=

1

2

，而r=2

2

，由d＜r，此时直线L与圆M相交，存在满足条件的点P
ii）当n=2时d=

3 2

2

＜

8

=r，此时直线L与圆M相交，存在满足条件的点P
iii）当n≥3时，d=

n2+4n-6

2 n2-2n+2

=

1

2

(

n2-2n+2

+

6n-8

n2-2n+2

)＞

1

2

•2

6n-8

＞

8

=r
此时直线L与圆M相离，不存在满足条件的点P．（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，与直线关于点对称的直线方程，圆的标准方程，其中根据已知条件确定A，B，C三点的坐标及三边的关系，以判断三角形ABC的形状是解答本题的关键．