Question

如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-A的大小；
（Ⅲ）求点A到平面A₁BD的距离．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设AB₁与A₁B相交于点P，连接PD，则P为AB₁中点，由此能够证明B₁C∥平面A₁BD．
（Ⅱ）法一：由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中D是AC的中点，知BD⊥AC，由平面AA₁C₁C⊥平面ABC，知BD⊥平面AA₁C₁C，故BD⊥A₁D，∠A₁DA为二面角A₁-BD-A的平面角，由此能求出二面角A₁-BD-A的大小．
（Ⅱ）法二：建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A₁-BD-A的大小．
（Ⅲ）法一：由（Ⅱ）知BD⊥AC、BD⊥A₁D，设点A到平面A₁BD的距离为d，利用等积法能求出点A到平面A₁BD的距离．
（Ⅲ）法二：由（Ⅱ）得=（1，0，0），n=（，0，1），利用向量法能求出点A到平面A₁BD的距离．
解答：解：（Ⅰ）证明：设AB₁与A₁B相交于点P，连接PD，
则P为AB₁中点，
∵D为AC中点，
∴PD∥B₁C．
又∵PD?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中D是AC的中点，
知BD⊥AC，
又∵平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，∴BD⊥A₁D，
故∠A₁DA为二面角A₁-BD-A的平面角，
又AD⊥A₁A，，AD=1，
∴∠A₁DA=60°，即二面角A₁-BD-A的大小为60°．…（8分）
（Ⅱ）解法二：如图建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），A₁（1，0，），
B（0，，0），B₁（0，，），
∴=（-1，，-），=（-1，0，-），
设平面A₁BD的法向量为=（x，y，z），
则，

则有，令z=1，得=（，0，1）
由题意，知=（0，0，）是平面ABD的一个法向量．
设与所成角为θ，
则，∴，
∴二面角A₁-BD-A的大小是…（8分）
（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知BD⊥AC、BD⊥A₁D，
设点A到平面A₁BD的距离为d，
∴，
故
=
解得：，
即点A到平面A₁BD的距离为．…（12分）
（Ⅲ）解法二：由（Ⅱ）已知，
得=（1，0，0），=（，0，1）
则
即点A到平面A₁BD的距离为．…（12分）
点评：本题考查直线与平面平行、二面角、点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．