Question

设函数f（x）=x³+3bx²+3（b²-1）x+3c有两个极值点x₁、x₂，且x₁∈（-1，2），x₂∈（2，+∞），则实数b的取值范围是（　　）

A．（-3，-1）

B．（-3，0）

C．（-3，-2）

D．（-2，-1）

Answer 1

分析：由f（x）=x³+3bx²+3（b²-1）x+3c，知f′（x）=3x²+6bx+3b²-3，由函数f（x）=x³+3bx²+3（b²-1）x+3c有两个极值点x₁、x₂，且x₁∈（-1，2），x₂∈（2，+∞），知

f′(-1)=3b2-6b＞0 f′(2)=3b2+12b+9＜0

，由此能求出结果．

解答：解：∵f（x）=x³+3bx²+3（b²-1）x+3c，
∴f′（x）=3x²+6bx+3b²-3，
∵函数f（x）=x³+3bx²+3（b²-1）x+3c有两个极值点x₁、x₂，
且x₁∈（-1，2），x₂∈（2，+∞），
∴

f′(-1)=3b2-6b＞0 f′(2)=3b2+12b+9＜0

，
解得-3＜b＜-1．
故选A．

点评：本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．