Question

函数f（x）=1+log_ax（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-2=0上，其中m＞0则

1

m

+

3

n

的最小值为

2+

3

．

Answer 1

分析：由题意可得定点A（1，1），m+n=2，把要求的式子化为

1

2

（m+n）（

1

m

+

3

n

），利用基本不等式求得结果．

解答：解：由对数函数的性质可知，f（x）=1+log_ax的图象恒过定点A（1，1）
∵点A在直线mx+ny-2=0上，
∴m+n=2
则

1

m

+

3

n

=

1

2

(m+n)(

1

m

+

3

n

)=

1

2

（4+

3m

n

+

n

m

）≥

1

2

×（4+2

3m n • n m

）=2+

3

当且仅当

n

m

=

3m

n

即m=

3

-1，m=3-

3

时取“=”
所以

1

m

+

3

n

的最小值为2+

3

．
故答案为2+

3

．

点评：本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子转化为积为定值，是解题的关键．