Question

【题目】设、分别是椭圆C：的左、右焦点，，直线1过且垂直于x轴，交椭圆C于A、B两点，连接A、B、，所组成的三角形为等边三角形。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过右焦点的直线m与椭圆C相交于M、N两点，试问：椭圆C上是否存在点P，使成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）椭圆；（2）

【解析】

（1）由题意布列关于a，b的方程组，解之，即可得到椭圆C的方程；

（2）设、，设y＝k（x﹣1）（k≠0），代入椭圆方程得，由此运用韦达定理和向量的坐标运算，代入椭圆方程，解得k，求出点P的坐标．

（1）

由可得，

等边三角形中：，，

则，得，

又因为，所以，

则椭圆；

（2）设、,

则由题意知的斜率为一定不为,故不妨设,
代入椭圆的方程中,

整理得,
显然.
由韦达定理有:,①
且②
假设存在点,使成立,则其充要条件为:

点,
点在椭圆上,即.
整理得
又在椭圆上,即,，
故由①②代入：，解得,

则。