Question

把正偶数数列{2n}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下图“三角形”数表所示．设a_ij(i，j∈N^*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数．

(Ⅰ)若a_mn=2006，求m、n的值；

(Ⅱ)已知函数f(x)的反函数为f^-1(x)=8ⁿx³+n(x＞0)，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为b_n，求数列{f(b_n)}的前n项和S_n.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵三角形数表中前m行共有1+2+3+…+m=个数，

∴第m行最后一个数应当是所给数列中的第项．

故第m行最后一个数是2·=m²+m

因此，使得a_mn=2006的m是不等式m²+m≥2006的最小正整数解．

由m²+m≥2006得m²+m-2006≥0

∴m≥=44

∴m=45

于是，第45行第一个数是44²+44+2=1 982

∴n=+l=13

(Ⅱ)∵f^-1(x)=8ⁿx³+n=y(x＞0)，

∴x=．故f(x)= (x＞0)

∵第n行最后一个数是n²+n，且有n个数，若将n²+n看成第n行第一个数，

则第n行各数成公差为-2的等差数列，

故b_n=n(n²+n)+(-2)=n³+n．

∴f(b_n)=

故S_n=

∵,

两式相减得：

S_n=+（）²+（）³+…+（）ⁿ-n（）ⁿ⁺¹=

=1-（）ⁿ-n（）ⁿ⁺¹

∴S_n=2-（n+2）（）ⁿ