Question

设实数a≠0，数列{a_n}是首项为a,公比为-a的等比数列，记

b_n=a_nlg|a_n|(n∈N ^*),S_n=b₁+b₂+…+b_n.

求证：当a≠-1时，对任意自然数n都有S_n=

Answer 1

证明:∵a_n=a₁q^n-1=a(-a)_n-1=(-1) ^n-1aⁿ,∴b_n=a_nlg|a_n|?

=(-1) ^n-1aⁿlg|(-1) ^n-1aⁿ|?

=(-1) ^n-1naⁿlg|a|,?

∴S_n=alg|a|-2a²lg|a|+3a³lg|a|+…+(-1) ^n-2(n-1)a ^n-1lg|a|+(-1) ^n-1naⁿlg|a|

=［a-2a²+3a³+…+(-1) ^n-2(n-1)·a ^n-1+(-1) ^n-1naⁿ］lg|a|.

记S=a-2a²+3a³+…+(-1) ^n-2·(n-1)a ^n-1+(-1) ^n-1naⁿ，①

aS=a²-2a³+…+(-1) ^n-3(n-2)a ^n-1+(-1) ^n-2(n-1)aⁿ+(-1) ^n-1na ⁿ⁺¹，②

①+②得（1+a）S=a-a²+a³+…+(-1) ^n-2a^n-1+(-1)^n-2aⁿ+(-1) ^n-1na ⁿ⁺¹.③

∵a≠-1,

∴(1+a)S=a+(-1) ^n-1a ⁿ⁺¹

∴S=

∴S_n=