Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．

（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；

（2）证明AE⊥平面PCD．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）见解析

【解析】

试题（1）先找出PB和平面PAD所成的角，再进行求解即可；

（2）可以利用线面垂直根据二面角的定义作角，再证明线面垂直．

（1）解：在四棱锥P﹣ABCD中，

因PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，

故PA⊥AB．

又AB⊥AD，PA∩AD=A，

从而AB⊥平面PAD，

故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．

在Rt△PAB中，AB=PA，故∠APB=45°．

所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．

（2）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，

因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，

所以CD⊥PA．

因为CD⊥AC，PA∩AC=A，

所以CD⊥平面PAC．

又AE平面PAC，所以AE⊥CD．

由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．

因为E是PC的中点，所以AE⊥PC．

又PC∩CD=C，

所以AE⊥平面PCD．