Question

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数k，对任意x∈D(D为函数的定义域)，等式f(kx)＝＋f(x)成立．

(1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)是否属于集合M？说明理由；

(2)设函数f(x)＝log_ax(a＞1)的图像与y＝x的图像有公共点，试证明：f(x)＝log_ax∈M．

Answer 1

答案：
解析：

解　　(1)若一次函数f(x)∈M，即存在非零的常数k，使得等式akx＋b＝＋ax＋b，也就是a(k－1)x＝成立．显然对于任意x∈D＝R，a(k－1)x＝不能恒成立，故f(x)＝ax＋bM． 　　(2)如图，设函数f(x)＝logax(a＞1)的图像与函数y＝x的图像的公共点为B(t，t)，则显然t＞1．在x∈(1，t)上，函数f(x)＝logax(a＞1)有定义，故在函数f(x)＝logax(a＞1，x∈(1，t))的图像即弧AB上，必存在点C(k，)，使等式logax＝成立，其中1＜k＜t． 　　于是，f(kx)＝logakx＝logak＋logax＝＋logax＝＋f(x)，故f(x)＝logax∈M．