Question

定议在上的单调函数满足，且对任意都有
（1）求证：为奇函数；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）详见解析：（2）.

解析试题分析：（1）赋值法求解，再寻找之间的关系；（2）先研究函数的单调性，再利用奇偶性化为，即对任意的恒成立，再转化为二次函数知识求解.本题考查了恒成立问题以及化归与转化思想.
试题解析：（1）证明：①
令，代入①式，得即
令，代入①式，得，又
则有即对任意成立，
所以是奇函数.                             4分
（2）解：，即，又在上是单调函数，
所以在上是增函数.
又由（1）是奇函数.
对任意成立.
令，问题等价于对任意恒成立.         8分
令其对称轴.
当时，即时，，符合题意；
当时，对任意恒成立
解得                          12分
综上所述当时，对任意恒成立.
考点：1.函数奇偶性的证明；2.二次函数恒成立问题；3.化归与转化思想.