Question

设数列{a_n}满足：a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…
（1）当a₁=2时，求a₂，a₃，a₄并由此猜测a_n的一个通项公式；
（2）当a₁≥3时，证明对所的n≥1，有
①a_n≥n+2
②

1

1+a1

+

1

1+a2

+

1

1+a3

+…+

1

1+an

≤

1

2

Answer 1

分析：本题考查的知识点是归纳推理和数学归纳法．
（1）由列{a_n}满足：a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…及a₁=2，我们易得到a₂，a₃，a₄的值，归纳数列中每一项的值与序号的关系，我们可以归纳推理出a_n的一个通项公式．
（2）①a_n≥n+2的证明可以使用数学归纳法，先证明n=1时不等式成立，再假设n=k时不等式成立，进而论证n=k+1时，不等式依然成立，最终得到不等式a_n≥n+2恒成立．②的证明用数学归纳法比较复杂，观察到不等式的结构形式，可采用放缩法进行证明．

解答：解（1）由a₁=2，得a₂=a₁²-a₁+1=3
由a₂=3，得a₃=a₂²-2a₂+1=4
由a₃=4，得a₄=a₃²-3a₃+1=5
由此猜想a_n的一个通项公式：a_n=n+1（n≥1）
（2）（i）用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁≥3=1+2，不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即a_k≥k+2，那么a_k+1=a_k（a_k-k）+1≥（k+2）（k+2-k）+1=2k+5≥k+3．
也就是说，当n=k+1时，a_k+1≥（k+1）+2
据①和②，对于所有n≥1，有a_n≥n+2．
（ii）由a_n+1=a_n（a_n-n）+1及（i），对k≥2，有a_k=a_k-1（a_k-1-k+1）+1≥a_k-1（k-1+2-k+1）+1=2a_k-1+1
a_k≥2^k-1a₁+2^k-2++2+1=2^k-1（a₁+1）-1
于是

1

1+ak

≤

1

1+a1

•

1

2k-1

，k≥2

n

k=1

1

1+ak

≤

1

1+a1

+

1

1+a1

n

k=2

1

2k-1

=

1

1+a1

n

k=1

1

2k-1

≤

2

1+a1

≤

2

1+3

=

1

2

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．但归纳推理的结论不一定正确，我们要利用数学归纳法等方法对归纳的结论进行进一步的论证．