Question

如图所示，⊙P的圆心在直线y=x上，且与直线x+2y-1=0相切，这个圆截y轴的正半轴所得的弦AB长为2，求此圆的方程．

Answer 1

分析：由⊙P的圆心在直线y=x上及半径r，设出圆方程，根据圆与直线x+2y-1=0相切，得到圆心到切线的距离d=r，根据圆截y轴的正半轴所得的弦AB长为2，利用垂径定理及勾股定理列出关系式，联立求出a与r的值，确定出圆心P与半径r，写出圆方程即可．

解答：解：由⊙P的圆心在直线y=x上，设此圆的方程为（x-a）²+（y-a）²=r²（a＞0），
∵⊙P与直线x+2y-1=0相切，圆截y轴的正半轴所得的弦AB长为2，
∴

|3a-1|

5

=r，且a²+（

|AB|

2

）²=r²，即a²+1=

(3a-1)2

5

，
整理得：（2a+1）（a-2）=0，
又a＞0，∴a=2，r=

5

，
∴⊙P的方程为（x-2）²+（y-2）²=5．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，直线与圆的位置关系，弄清题意是解本题的关键．