Question

如图，四棱锥E-ABCD中，面ABE⊥面ABCD，
底面ABCD是直角梯形，侧面ABE是等腰直角三角形．且AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2，EA⊥EB．
（1）判断AB与DE的位置关系；
（2）求三棱锥C-BDE的体积；
（3）若点F是线段EA上一点，当EC∥平面FBD时，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）取AB中点O，连结EO，DO，证OE⊥AB，OD⊥AB，可证AB⊥平面EOD，由线面垂直的性质可得AB⊥ED；
（2）证明EO⊥平面ABCD，求得EO长，利用V_C-BDE=V_E-BCD求解；
（3）连接AC、BD交于点，由EC∥平面FBD，得EC∥FM，根据△DMC与△BMA相似，可得MA=2MC，即AM=2MC，从而得AF=2FE，计算EA可得EF．

解答：解：（1）证明：取AB中点O，连结EO，DO．
∵EB=EA，∴EO⊥AB．
∵四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，
∴四边形OBCD为正方形，∴AB⊥OD，又OD∩OE=O，
∴AB⊥平面EOD，ED?平面EOD，∴AB⊥ED；       
（2）由EO⊥AB，平面ABE⊥面ABCD，平面ABE⊥平面ABCD=AB，
∴EO⊥平面ABCD，EO=

1

2

AB=1，BC=CD=1，
∴VC-BDE=VE-CBD=

1

3

×(2×1×1)×1=

1

6

，
（3），连接AC、BD交于点，平面ACE∩平面FBD=FM．
∵EC∥平面FBD，∴EC∥FM．
在梯形ABCD中，有△DMC与△BMA相似，可得MA=2MC，
∴AM=2MC，∴AF=2FE，
EA=

2

2

×2=

2

，
∴EF=

1

3

EA=

2

3

．

点评：本题考查线面垂直的性质与判定，考查了棱锥的体积计算与距离的求法，考查了学生的识图能力与计算能力．