Question

已知点P（5，0）及圆C：x²+y²-4x-8y-5=0
（1）若直线l₁为过点P的圆C的切线，求直线 l₁的方程；
（2）若直线l₂为过点P且被圆C截得的弦AB长是8，求直线 l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意，可得圆心为C（2，4），半径r=5．由点P（5，0）在圆C上，可得切线l₁与半径CP互相垂直，因此算出直线CP的斜率为-

4

3

，从而得到切线l₁的斜率为

3

4

，可得直线l₁的方程；
（2）当直线l₂的斜率不存在时，利用垂径定理算出弦AB的长为8，此时l₂方程为x=5符合题意；当直线l₂的斜率存在时设l₂的方程为y=k（x-5），利用点到直线的距离公式和垂径定理加以计算，可得k=-

7

24

，得到l₂方程为7x+24y-35=0．最后加以综合即可得到满足条件的直线l₂的方程．

解答：解：（1）∵圆C：x²+y²-4x-8y-5=0化成标准方程，得（x-2）²+（y-4）²=25，
∴圆心为C（2，4），半径r=5．且P（5，0）在圆C上，
∵直线l₁为过点P的圆C的切线，且P为切点，
∴直线CP的斜率为kCP=

4-0

2-5

=-

4

3

，
因此，所求切线l₁的斜率为k=

-1

kCP

=

3

4

，
∴直线l₁方程为y-0=

3

4

(x-5)，化简得3x-4y-15=0．
（2）①当直线l₂的斜率不存在时，其方程为x=5，
∵圆心C到x=5距离等于3，
∴弦AB的长为：|AB|=2

52-32

=8，满足题意；
②当直线l₂的斜率存在时，设l₂方程为y=k（x-5），
∵弦AB长是8，∴圆心C到直线l₂的距离d=

r2-( 1 2 |AB|)2

=3，
∵l₂方程为y=k（x-5），即kx-y-5k=0，
∴

|-3k-4|

k2+1

=3，解之得k=-

7

24

，可得直线l₂方程是7x+24y-35=0
综上所述，可得直线l₂方程为7x+24y-35=0或x-5=0．

点评：本题给出已知圆和点P，求经过点P的圆的切线和被圆截得弦长为8的直线方程．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．