Question

(本小题满分13分)

某化工企业生产某种产品，生产每件产品的成本为3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11 – x)²万件；若该企业所生产的产品能全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a (1≤a≤3)．

（Ⅰ）求该企业正常生产一年的利润L (x)与出厂价x的函数关系式；        

（Ⅱ）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．

Answer 1

L（x）= (x – 3 – a) (11 – x)²，x∈[7，10]．

 ，每件产品出厂价为元时，年利润最大，为(8 – a)³万元

解析:

（Ⅰ）依题意，L (x) = (x – 3 ) (11 – x)² – a (11 – x)²

= (x – 3 – a) (11 – x)²，x∈[7，10]．  ………………5分

（Ⅱ）因为L′(x) = (11 – x)² – 2 (x – 3 – a) (11 – x) = (11 – x ) (11 – x – 2x + 6 + 2a)

                = (11 – x )(17 + 2a – 3x)．

由L′(x) = 0，得x = 11[7，10]或x = ．   ………………7分

∵1≤a≤3，∴．

在x = 的两侧L′(x)由正变负，    ……………………8分        

故①当，即1≤a≤2时，L′(x)在[7，10]上恒为负，∴L (x)在[7，10]上为减函数．

∴[L (x)]_max = L (7) = 16 (4 – a)．    ………………………………10分

②当7，即2<a≤3时，        [L (x)]_max = L ……12分

即1≤a≤2时，则当每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16 (4 – a)万元．当2<a≤3时，则每件产品出厂价为元时，年利润最大，为(8 – a)³万元．  …………13分