Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁F⊥CD，如图2．
（1）求证：DE∥平面A₁CB；
（2）求证：A₁F⊥BE；
（3）线段A₁B上是否存在点Q，使A₁C⊥平面DEQ？说明理由．

Answer 1

解：（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴DE∥BC，又DE?平面A₁CB，
∴DE∥平面A₁CB，
（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
∴DE⊥AC，
∴DE⊥A₁D，又DE⊥CD，
∴DE⊥平面A₁DC，而A₁F?平面A₁DC，
∴DE⊥A₁F，又A₁F⊥CD，
∴A₁F⊥平面BCDE，
∴A₁F⊥BE．
（3）线段A₁B上存在点Q，使A₁C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A₁C，A₁B的中点P，Q，则PQ∥BC．
∵DE∥BC，
∴DE∥PQ．
∴平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ）知DE⊥平面A₁DC，
∴DE⊥A₁C，
又∵P是等腰三角形DA₁C底边A₁C的中点，
∴A₁C⊥DP，
∴A₁C⊥平面DEP，从而A₁C⊥平面DEQ，
故线段A₁B上存在点Q，使A₁C⊥平面DEQ
分析：（1）D，E分别为AC，AB的中点，易证DE∥平面A₁CB；
（2）由题意可证DE⊥平面A₁DC，从而有DE⊥A₁F，又A₁F⊥CD，可证A₁F⊥平面BCDE，问题解决；
（3）取A₁C，A₁B的中点P，Q，则PQ∥BC，平面DEQ即为平面DEP，由DE⊥平面，P是等腰三角形DA₁C底边A₁C的中点，可证A₁C⊥平面DEP，从而A₁C⊥平面DEQ．
点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题．