Question

（2010•永州一模）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，|AB|=4，|BC|=2，E、F、G、H分别是矩形四条边的中点，O是矩形ABCD的中心，

OR

=λ

OF

，

CT

=λ

CF

(0＜λ＜1)，直线ER与直线GT的交点P的轨迹为W．
（1）求W的方程；
（2）求四边形OGPF面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）依题意，E（0，-1），C（2，1），G（0，1），F（2，0），设P（x，y），得到R（2λ，0），T（2，1-λ），ER的方程是y=

1

2λ

x-1，GT的方程是y=-

λ

2

x+1，由此推导出W的方程．
（2）：设直线l与曲线W相切且平行GF，l的方程为y=-

1

2

x+m，联立

x2

4

+y2=1得x²-2mx+2m²-2=0，然后结合题设条件利用根的判别式进行求解．

解答：解：（1）依题意，E（0，-1），C（2，1），G（0，1），F（2，0），设P（x，y），
∵

OR

=λ

OF

，∴

CT

=λ

CF

，∴R（2λ，0），T（2，1-λ），
则ER的方程是y=

1

2λ

x-1①GT的方程是y=-

λ

2

x+1②
由①②得(y+1)(y-1)=-

x2

4

，注意到0＜λ＜1，化得W：

x2

4

+y2=1(x＞0，y＞0)（6分）

（2）：设直线l与曲线W相切且平行GF，l的方程为y=-

1

2

x+m，
联立

x2

4

+y2=1得x²-2mx+2m²-2=0，△=4m²-8（m²-1）=0，m=

2

（舍去负根），
l的方程为y=-

1

2

x+

2

，l与GF的距离d=

2 -1

1+ 1 4

=

2

5

(

2

-1)．
易得SOGPF=S△OGF+S△PGF=

2

（13分）

点评：本题考查轨迹方程和直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要结合题设条件，注意公式的灵活运用．