Question

（本小题满分16分）
已知，，且直线与曲线相切．
（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）内的任意个实数都有成立；
（3）求证：．

Answer 1

（1）设点为直线与曲线的切点，则有
．     （*）
，． （**）
由（*）、（**）两式，解得，．   
由整理，得，
，要使不等式恒成立，必须恒成立．
设，，
，当时，，则是增函数，
，是增函数，，．
因此，实数的取值范围是．
（2）当时，
，在上是增函数，在上的最大值为．
要对内的任意个实数都有
成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，
当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．
，解得．因此，的最大值为． 
（3）证明：当时，得出． 令，   
化简得，
得出．

解析试题分析：（1）设点为直线与曲线的切点，则有
．     （*）
，． （**）
由（*）、（**）两式，解得，．   
由整理，得，
，要使不等式恒成立，必须恒成立．
设，，
，当时，，则是增函数，
，是增函数，，．
因此，实数的取值范围是．
（2）当时，
，在上是增函数，在上的最大值为．
要对内的任意个实数都有
成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，
当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．
，解得．因此，的最大值为． 
（3）证明：当时，根据（1）的推导有，时，，
即． 令，得，   
化简得， 
． 
考点：本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性及极值，证明不等式。
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，像涉及恒成立问题，往往通过研究函数的最值达到解题目的。证明不等式问题，往往通过构造新函数，研究其单调性及最值，而达到目的。本题涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。