Question

【题目】设函数.

(1)当时，求函数的单调区间.

(2)当时，讨论函数与图象的交点个数.

Answer 1

【答案】（1）函数的增区间是，减区间是；（2）有一个交点.

【解析】分析：（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）问题转化为求函数的零点个数问题，通过求导，得到函数单调区间，求出的极小值，利用数形结合思想、分类讨论思想可求出的函数的零点个数即和的交点个数.

详解：(1)函数的定义域为，

当时，，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增。

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

(2)令

问题等价于求函数的零点个数，

当时，，有唯一零点.

当，

当时，，函数为减函数，

注意到

所以有唯一零点；

当时，或时时

所以函数在和上单调递减，在上单调递增，

注意到

所以有唯一零点；

当时，函数在和上单调递减，在上单调递增，

易得，所以，

而所以有唯一零点；

综上，函数有唯一零点，即两函数图象总有一个交点.